技巧 1：先看 “通项的极限”—— 必要条件

如果一个级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛，那么它的通项 \(a_n\) 必须满足：当 n 无限大时，\(a_n\) 趋近于 0（即 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)）。
大白话：如果加到后面，每一项都不靠近 0（比如 “1+1+1+...”，通项始终是 1；或者 “1+2+3+4+...”，通项越来越大），那这个级数肯定发散。
但注意：这只是 “必要条件”，不是 “充分条件”。比如调和级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...\)，它的通项 \(\frac{1}{n}\) 确实趋近于 0，但整个级数是发散的（加无限多项会无限大，只是长得慢）。

技巧 2：几何级数 ——“公比” 定生死

几何级数是最常见的级数，形式是 \(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...\)（a 是常数，r 叫 “公比”，即后一项是前一项的 r 倍）。
它的收敛性特别简单：
  • 如果 \(|r| < 1\)（公比绝对值小于 1），级数收敛，和为 \(\frac{a}{1 - r}\)；
  • 如果 \(|r| \geq 1\)，级数发散。
例子：
  • 级数 \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...\) 是几何级数，a=1，r=1/2（|r|<1），所以收敛，和为 \(\frac{1}{1 - 1/2} = 2\)（和我们模块一算的一致）；
  • 级数 \(1 + 2 + 4 + 8 + ...\)，r=2（|r|>1），发散；
  • 级数 \(1 - 1 + 1 - 1 + ...\)，r=-1（|r|=1），发散（来回震荡）。

技巧 3：正项级数可以 “比大小”—— 比较判别法

如果级数的每一项都是正数（正项级数），可以找一个 “已知收敛 / 发散的级数” 和它比较：
  • 若你的级数每一项都比 “已知收敛的级数” 小，那么你的级数也收敛；
  • 若你的级数每一项都比 “已知发散的级数” 大，那么你的级数也发散。
例子： 判断 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ...\) 是否收敛。 我们知道几何级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\) 是收敛的（r=1/2<1）。 比较两者的项：当 n≥2 时，\(\frac{1}{n^2} < \frac{1}{2^n}\)（比如 n=2 时，1/4=1/4；n=3 时，1/9≈0.11 < 1/8=0.125，越来越明显），所以 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 收敛（实际它的和是 \(\pi^2/6\)，约 1.645）。
 
总结：判断收敛 / 发散，先看 “通项是否趋近于 0”（不趋近则必发散）；几何级数看 “公比绝对值是否小于 1”；正项级数可以和已知的级数 “比大小”。