应用 1：近似计算 —— 用有限项代替无穷项

很多数（比如 π、e）或复杂函数（比如 sinx、lnx）很难直接算，但可以用级数展开成 “无穷多项相加”，然后取前几项就能得到足够精确的近似值。
 
例子 1：计算 e（自然常数，约 2.718） e 可以用级数表示为： \(e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ...\)（n! 是 n 的阶乘，比如 3! = 3×2×1=6） 取前 5 项：1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 ≈ 2.708，已经很接近 e 了；取前 10 项，误差能小于 1e-6（百万分之一）。
 
例子 2：计算 sinx（比如 sin1°） sinx 的级数展开（x 用弧度）： \(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...\) 比如算 sin (1°)（先转成弧度：1°≈0.01745 弧度），取前 2 项： \(0.01745 - \frac{(0.01745)^3}{6} ≈ 0.01745 - 0.0000008 ≈ 0.01745\)，和实际值（≈0.0174524）几乎一样。

应用 2：信号处理 —— 把复杂信号 “拆成简单波”

比如你听的音乐、手机接收的信号，本质是 “复杂的波形”。傅里叶级数（一种特殊的级数）可以把任何复杂波形拆成 “无数个正弦波和余弦波的叠加”—— 就像把 “一道彩虹” 拆成 “红、橙、黄... 等单色光”。
这样一来，处理复杂信号就变成了处理简单的正弦 / 余弦波，比如降噪、滤波（去掉不需要的频率的波），这是手机、音响、雷达等设备的核心原理之一。

应用 3：物理和工程 —— 简化 “无穷多物体的相互作用”

比如一根琴弦振动，其实可以看作 “无穷多个质点在振动”，用级数可以把这种 “无穷多质点的运动” 表示为 “多个简单振动模式的叠加”，从而解方程、预测振动规律。 再比如电路里的 “无穷多个电阻 / 电容串联”，用级数能算出总电阻 / 电容的近似值。
模块三总结： 级数的核心应用是 “化繁为简”—— 把复杂的数、函数、信号拆成 “无穷多项简单项的叠加”，用有限项就能得到足够精确的结果，解决实际问题。

最后总结

无穷级数就是 “无穷多个数相加的表达式”，核心是判断 “加越来越多项时是否靠近一个固定数”（收敛 / 发散）。我们可以通过通项极限、几何级数公比、比较法来判断收敛性，而它的价值在于近似计算、信号处理、物理建模等多个领域。