一、无穷级数的定义：从有限到无穷的 “跨越”

我们先从熟悉的 “有限项和” 入手： 给定一个数列 \(u_1, u_2, u_3, \dots, u_n, \dots\)，我们可以定义它的前 n 项和（有限项和）：\(S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n\) 当 n 无限增大时，这个 “和” 的表达式就从有限项扩展到了无穷项，这就是无穷级数，记为：\(\sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + u_3 + \dots\)
这里的关键是：无穷级数不是简单的 “无限相加”，而是通过 “有限项和的极限” 来定义其 “和” 的。具体来说：
  • 称数列 \(\{S_n\}\) 为级数的部分和数列；
  • 若部分和数列的极限存在，即 \(\lim_{n \to \infty} S_n = S\)（S 为有限数），则称级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，且其和为 S，记为 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n = S\)；
  • 若部分和数列的极限不存在（或为无穷大），则称级数发散（发散的级数没有 “和”）。

 

二、核心概念：收敛与发散的直观理解

我们用两个经典例子感受 “收敛” 与 “发散” 的区别：

例 1：几何级数（等比级数）—— 收敛的典型

几何级数是形式为 \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\)（\(a \neq 0\)）的级数，其部分和为：\(S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)\)
  • 当 \(|r| < 1\) 时，\(\lim_{n \to \infty} r^n = 0\)，因此 \(\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1 - r}\)，级数收敛，和为 \(\frac{a}{1 - r}\)；
  • 当 \(|r| \geq 1\) 时，\(\lim_{n \to \infty} r^n\) 不存在（或为无穷），部分和极限不存在，级数发散。
比如 \(\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots\) 收敛，和为 \(\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\)；而 \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} = 1 + 2 + 4 + \dots\) 显然发散。
 

例 2：调和级数 —— 看似收敛却发散

调和级数是 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots\)，其通项 \(\frac{1}{n} \to 0\)（当 \(n \to \infty\) 时），但部分和 \(S_n\) 却会无限增大： 通过分组比较：\(S_n = 1 + \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} \right) + \dots\) 每组的和都大于 \(\frac{1}{2}\)（如 \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)），因此随着项数增加，\(S_n \to \infty\)，级数发散。
 

三、收敛的必要条件：通项必须趋于 0（但不充分！）

从收敛的定义可直接推出： 若级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛，则 \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\)。
  • 这是 “必要条件”：收敛一定满足通项趋于 0；
  • 但不是 “充分条件”：通项趋于 0 的级数不一定收敛（如调和级数）。
用途：可快速判断发散级数 —— 若 \(\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0\)，则级数必发散。 例如 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n + 1}\)，因 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1 \neq 0\)，故发散。
 

四、收敛级数的基本性质

  1. 线性性：若 \(\sum u_n = S\)、\(\sum v_n = T\) 都收敛，则对任意常数 \(a, b\)，\(\sum (a u_n + b v_n)\) 收敛，且和为 \(aS + bT\)。
  2. 有限项无关性：改变级数的前有限项（如增删、修改），不改变其收敛性（但收敛时和会变）。
  3. 加括号性质：收敛级数任意加括号后仍收敛，且和不变；但反之不成立（如 \((1 - 1) + (1 - 1) + \dots\) 收敛，但若去括号为 \(1 - 1 + 1 - 1 + \dots\) 则发散）。

 

五、正项级数的审敛法（核心工具）

若级数的每一项 \(u_n \geq 0\)，则称为正项级数。其部分和数列 \(\{S_n\}\) 单调递增（因 \(S_{n+1} = S_n + u_{n+1} \geq S_n\)），因此： 正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界（单调有界数列必收敛）。
基于此，衍生出以下实用审敛法：

1. 比较审敛法

设 \(\sum u_n\) 和 \(\sum v_n\) 都是正项级数，且 \(u_n \leq v_n\)（从某一项起）：
  • 若 \(\sum v_n\) 收敛，则 \(\sum u_n\) 收敛（“小的跟着大的收敛”）；
  • 若 \(\sum u_n\) 发散，则 \(\sum v_n\) 发散（“大的跟着小的发散”）。
极限形式（更常用）：若 \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l\)（\(0 < l < \infty\)），则两级数同敛散；
  • 若 \(l = 0\)，则 \(\sum v_n\) 收敛 \(\implies \sum u_n\) 收敛；
  • 若 \(l = \infty\)，则 \(\sum v_n\) 发散 \(\implies \sum u_n\) 发散。

 

2. 比值审敛法（达朗贝尔判别法）

对正项级数 \(\sum u_n\)，若 \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho\)：
  • 当 \(\rho < 1\) 时，级数收敛；
  • 当 \(\rho > 1\)（或 \(\rho = \infty\)）时，级数发散；
  • 当 \(\rho = 1\) 时，方法失效（需换其他方法）。
适用场景：通项含阶乘（如 \(n!\)）或指数（如 \(2^n\)）时，比值计算简单。
 

3. 根值审敛法（柯西判别法）

对正项级数 \(\sum u_n\)，若 \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho\)：
  • 结论同比值法（\(\rho < 1\) 收敛，\(\rho > 1\) 发散，\(\rho = 1\) 失效）。
适用场景：通项含幂函数（如 \(n^k\)）时，根值计算更方便。
 

4. 积分判别法

若 \(f(x)\) 在 \([1, +\infty)\) 上非负、连续、递减，且 \(u_n = f(n)\)，则 \(\sum u_n\) 与反常积分 \(\int_{1}^{+\infty} f(x) dx\) 同敛散。

 

典型应用：判断 p- 级数 \(\sum \frac{1}{n^p}\) 的收敛性：
  • 当 \(p > 1\) 时，\(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 收敛（因 \(\int x^{-p} dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} \to 0\)），故级数收敛；
  • 当 \(p \leq 1\) 时，积分发散，故级数发散（调和级数是 \(p=1\) 的特例）。

 

六、交错级数与绝对收敛

1. 交错级数（正负项交替）

形式为 \(\sum (-1)^{n-1} u_n\)（\(u_n > 0\)），其收敛性可用莱布尼茨判别法： 若 \(u_n\) 单调递减且 \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\)，则级数收敛，且余项 \(|r_n| \leq u_{n+1}\)（可估计误差）。
例如 \(\sum (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots\)，因 \(\frac{1}{n}\) 递减且趋于 0，故收敛。
 

2. 绝对收敛与条件收敛

  • 若 \(\sum |u_n|\) 收敛，则称 \(\sum u_n\)绝对收敛；
  • 若 \(\sum u_n\) 收敛，但 \(\sum |u_n|\) 发散，则称 \(\sum u_n\)条件收敛。
重要结论：绝对收敛的级数一定收敛（但反之不成立）。 例如 \(\sum (-1)^{n-1} \frac{1}{n^2}\) 绝对收敛（因 \(\sum \frac{1}{n^2}\) 是 \(p=2\) 的 p- 级数，收敛）；而 \(\sum (-1)^{n-1} \frac{1}{n}\) 是条件收敛（因 \(\sum \frac{1}{n}\) 发散）。
 

总结：核心逻辑链

  1. 无穷级数的 “和” 由部分和的极限定义，因此收敛性是核心；
  2. 通项趋于 0 是收敛的必要条件，但不充分；
  3. 正项级数用比较法、比值法、根值法等判断收敛性；
  4. 交错级数可用莱布尼茨判别法，需区分绝对收敛与条件收敛。
掌握这些，就能应对绝大多数级数收敛性的判断问题。如果你是零基础或者是没明白什么意思，可以看一下通俗讲解什么是无穷级数？—— 从 “有限相加” 到 “无穷相加” 的升级——无穷级数通俗易懂讲解（一）