先从你熟悉的东西入手：有限相加。比如 “1+2+3”，这是 3 个数相加，结果是 6；“1/2 + 1/4 + 1/8”，3 个数相加，结果是 7/8。这些都是 “有限项求和”，很直观，算出来就是一个确定的数。

 

但如果把 “相加的项” 无限延长呢？比如： 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...（后面一直加下去，每次都是前一项的 1/2） 这种 “无穷多个数依次相加” 的表达式，就叫无穷级数，简称 “级数”。

 

为了方便写，数学家给了个符号：用 Σ（读作 “西格玛”）表示 “求和”，比如上面的级数可以写成： \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...\) 这里的 “n=0” 表示从第 0 项开始，“∞” 表示加到无穷多项，\(\frac{1}{2^n}\) 是每一项的表达式，叫 “通项”。

关键：无穷级数不是 “直接加”，而是 “慢慢加”

你可能会想：无穷多个数相加，结果是不是一定无穷大？比如 “1+1+1+1+...”，加无穷多个 1，结果肯定是无穷大。但刚才的例子 “1 + 1/2 + 1/4 + ...” 不一样 —— 我们可以试试 “加一部分” 看看趋势：
  • 加前 1 项：1
  • 加前 2 项：1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
  • 加前 3 项：1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 = 1.75
  • 加前 4 项：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 15/8 = 1.875
  • ...
  • 加前 n 项：结果是 \(2 - \frac{1}{2^{n-1}}\)（可以自己算验证）
当 n 越来越大（加到第 100 项、1000 项...），\(\frac{1}{2^{n-1}}\) 会越来越接近 0，所以 “加前 n 项的结果” 会越来越接近 2。这种 “加的项数越多，结果越靠近一个固定的数” 的情况，我们就说这个无穷级数 “收敛”，那个固定的数就是它的 “和”。

 

反之，如果 “加的项数越多，结果越来越大（或来回震荡），不靠近任何固定数”，就叫 “发散”。比如 “1+1+1+...” 会无限变大，发散；“1-1+1-1+1-1+...” 加 1 项是 1，加 2 项是 0，加 3 项是 1，来回跳，也发散。