常见题型示例：
1. 直角坐标计算
$$\text {例：计算 } \iint_{D} x y d \sigma \text { ，其中 D 由 } y=x 、 y=x^{2} \text { 围成 }$$
解：X 型区域$0\leq x\leq1,x^{2}\leq y\leq x$
$$\int_0^1dx\int_{x^2}^xxydy=\int_0^1\left.x\cdot\frac{y^2}{2}\right|_{x^2}^xdx=\frac{1}{2}\int_0^1(x^3-x^5)dx=\frac{1}{24}$$
2. 极坐标转换
$$\text{例:计算}\iint_De^{x^2+y^2}d\sigma\text{,D为单位圆}$$
$\text{解:极坐标下}0\leq\theta\leq2\pi,0\leq r\leq1,\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1e^{r^2}rdr=2\pi\cdot\frac{1}{2}e^{r^2}|_0^1=\pi(e-1)$
3. 交换积分次序
$$\text{例:交换}\int_0^1dy\int_y^{\sqrt{y}}f(x,y)dx\text{的次序}$$
$\text{解:原区域为Y型,转换为X型}0\leq x\leq1,x^2\leq y\leq x$ ，$$\int_0^1dx\int_{x^2}^xf(x,y)dy$$
上一篇文章详解：二重积分知识体系框架——从小白到大能详细教程 - 朴门笔记
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