要理解 “极限的绝对值性质”，可从 定义证明 和 逻辑关系 两方面分析：
 

一、性质表述

若数列 \(\{ u_n \}\) 的极限 存在（设为 L），则其绝对值数列 \(\{ |u_n| \}\) 的极限也存在，且：\(\boldsymbol{\lim_{n \to \infty} |u_n| = \left| \lim_{n \to \infty} u_n \right| = |L|}\)
 

二、证明（用数列极限的定义）

  1. 已知：\(\lim_{n \to \infty} u_n = L\)，即对任意 \(\epsilon > 0\)，存在正整数 N，当 \(n > N\) 时，有：\(|u_n - L| < \epsilon\)
  2. 利用绝对值不等式：对任意实数 \(a, b\)，有\(\boldsymbol{||a| - |b|| \leq |a - b|}\) 令 \(a = u_n\)，\(b = L\)，则：\(||u_n| - |L|| \leq |u_n - L|\)
  3. 推导 \(|u_n|\) 的极限： 由 \(|u_n - L| < \epsilon\)，结合上述不等式，得：\(||u_n| - |L|| < \epsilon\) 这恰好满足 \(\lim_{n \to \infty} |u_n| = |L|\) 的定义（对任意 \(\epsilon > 0\)，存在 N，当 \(n > N\) 时，\(||u_n| - |L|| < \epsilon\)）。
  4.  

三、注意 “逆命题不成立”

性质是 单向的：
  • 若 \(\lim_{n \to \infty} u_n\) 存在，则 \(\lim_{n \to \infty} |u_n|\) 必存在且等于 \(|\lim_{n \to \infty} u_n|\)；
  • 但若 \(\lim_{n \to \infty} |u_n|\) 存在，不能推出 \(\lim_{n \to \infty} u_n\) 存在。

反例：

设 \(u_n = (-1)^n\)，则 \(|u_n| = 1\)，故 \(\lim_{n \to \infty} |u_n| = 1\)，但 \(u_n\) 交替取 1 和 \(-1\)，极限不存在。
 

四、核心用途

该性质常用于：
  1. 快速判断极限不存在：若 \(|u_n|\) 的极限非 0（或不存在），则 \(u_n\) 的极限必不存在（或非 0），进而判定级数发散（利用 “级数收敛的必要条件”）。
  2. 简化极限计算：若已知 \(u_n\) 的极限，可直接通过绝对值求 \(|u_n|\) 的极限。
理解这个性质的关键是 绝对值不等式的放缩 和 数列极限定义的应用，同时要牢记 “逆命题不成立” 的反例，避免逻辑错误。