学导数时最让人崩溃的瞬间：
看着 $y=\sin(2x^3+e^x)$这样的复杂函数，大脑突然空白：“导数公式明明背过，可怎么拆？从哪下手？”
别慌！导数计算就像玩闯关游戏，掌握这 5 个 “通关技巧”，再复杂的函数也能轻松拆解～
 

一、先背好 “基础装备库”：8 个最常用的导数公式

就像玩游戏要先攒够基础武器，导数计算首先要记住这几个 “必杀技”，做到 “肌肉记忆” 级熟练：
函数类型
例子
导数公式
记忆口诀（超接地气版）
常数函数
$y = 5$
\( y' = 0 \)
常数就像不动的石头，变化率为 0
幂函数
\( y = x^n \)
\( y' = n x^{n-1} \)
“指数掉下来，次数减 1”
指数函数
\( y = e^x \)
\( y' = e^x \)
e 的 x 次方，导数 “原汁原味”
对数函数
\( y = \ln x \)
\( y' = 1/x \)
“1 除以 x，对数导数别搞反”
正弦函数
\( y = \sin x \)
\( y' = \cos x \)
“正弦变余弦，符号不变”
余弦函数
\( y = \cos x \)
\( y' = -\sin x \)
“余弦变正弦，多带个负号”
正切函数
\( y = \tan x \)
\( y' = \sec^2 x \)
暂时先记牢，后面用商法则推
常数倍数
\( y = 3x^2 \)
\( y' = 3*2x = 6x \)
常数提出来，只对 x 求导
举个栗子：\( y = 4x^5 \) 的导数？→ 指数 5 掉下来，次数减 1，乘上常数 4 → \( y' = 4*5x^4 = 20x^4 \)\( y = \ln 3x \) 的导数？→ 别慌！\( \ln 3x = \ln 3 + \ln x \)，\( \ln 3 \) 是常数导数 0，所以 \( y' = 1/x \)
 

二、四则运算：加减乘除的 “导数魔法”

学会了单个函数的导数，遇到 “组合函数”（比如两个函数相加、相乘）怎么办？记住这三个法则，就像给函数 “拆零件”：

1. 加减法则：各自为政，分开求导

如果 \( y = u ± v \)（u 和 v 都是关于 x 的函数），
则 \( y' = u' ± v' \)
就像组队打副本：两个人各自干自己的活，互不干扰。
例：\( y = x^3 + \sin x \) → \( y' = 3x^2 + \cos x \)\( y = e^x - \ln x \) → \( y' = e^x - 1/x \)

2. 乘法法则：“你导我不导，我导你不导”

如果 \( y = u·v \)，
则 \( y' = u'v + uv' \)
类比：你和朋友一起买奶茶和蛋糕，总价变化 = 你的奶茶涨价 + 他的蛋糕涨价。
例：\( y = x^2·\sin x \)
设 \( u = x^2 \)（\( u' = 2x \)），\( v = \sin x \)（\( v' = \cos x \)）
→ \( y' = 2x·\sin x + x^2·\cos x \)

3. 商法则：“分母平方，上导下不导减下导上不导”

如果 \( y = u/v \)，
则 \( y' = (u'v - uv') / v² \)
就像分蛋糕：先算分子的变化，再减去分母的变化，最后除以分母的 “平方蛋糕”。
例：\( y = \frac{x}{1+x} \)
设 \( u = x \)（\( u' = 1 \)），\( v = 1+x \)（\( v' = 1 \)）
→ \( y' = \frac{1·(1+x) - x·1}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2} \)
 

三、链式法则：剥洋葱式 “层层拆解”

遇到复合函数（比如 \( y = (2x+1)^3 \)，或者 \( y = \sin(3x) \)），必须用链式法则：
外层函数的导数 × 内层函数的导数，就像剥洋葱，一层一层来。

步骤 1：给函数 “穿衣服”，分清楚内外层

  • 外层：最 “表面” 的函数（比如平方、正弦、指数）
  • 内层：被外层包裹的函数（比如括号里的、正弦里面的）

步骤 2：外层导数不变内层，乘以内层导数

公式：如果 \( y = f(g(x)) \)，则 \( y' = f'(g(x)) · g'(x) \)
举三个超简单例子：

🌰1：\( y = (2x + 1)^3 \)

  • 外层：\( f(u) = u^3 \)（u 是内层），外层导数 \( f'(u) = 3u² \)
  • 内层：\( u = 2x + 1 \)，内层导数 \( u' = 2 \)
  • 所以 \( y' = 3(2x+1)² × 2 = 6(2x+1)² \)

🌰2：\( y = \sin(4x) \)

  • 外层：\( f(u) = \sin u \)，导数 \( \cos u \)
  • 内层：\( u = 4x \)，导数 \( 4 \)
  • 所以 \( y' = \cos(4x) × 4 = 4\cos(4x) \)

🌰3：\( y = e^{x² + 3x} \)

  • 外层：\( f(u) = e^u \)，导数 \( e^u \)
  • 内层：\( u = x² + 3x \)，导数 \( 2x + 3 \)
  • 所以 \( y' = e^{x²+3x} × (2x+3) \)
记住口诀：“外层导数带原内层，乘以内层小导数”，多练几次就像拆快递一样爽！
 

四、隐函数求导：两边同时 “戳一戳”，解出 y’

遇到方程里 x 和 y “纠缠不清”（比如圆的方程 \( x² + y² = 1 \)），求 y 对 x 的导数时，把 y 看成 x 的函数，两边同时对 x 求导，再解出 y’。

步骤：

  1. 方程两边对 x 求导，遇到 y 就当它是 “复合函数”，用链式法则（比如 y² 的导数是 2y・y’）
  1. 把含 y’的项移到左边，其他项移到右边
  1. 解出 y’ = 右边 / 左边
例：求 \( x² + y² = 1 \) 的导数
  1. 两边求导：\( 2x + 2y·y’ = 0 \)
  1. 移项：\( 2y·y’ = -2x \)
  1. 解出：\( y’ = -x/y \)
就像解谜游戏：两边同时 “求导攻击”，然后把 y’这个 “未知数” 救出来～
 

五、高阶导数：从速度到加速度，层层加码

一阶导数是 “瞬间变化率”，二阶导数就是 “变化率的变化率”，比如：
  • 位移 s (t) 的一阶导数是速度 v (t) = s’(t)
  • 速度的导数是加速度 a (t) = v’(t) = s''(t)（二阶导数）
  • 三阶导数可以理解为 “加速度的变化率”（比如刹车时加速度突然变大，三阶导数就大）
计算方法：一阶一阶求导，就像 “剥洋葱剥了一层又一层”。
例：\( y = x^4 \)
  • 一阶：\( y’ = 4x^3 \)
  • 二阶：\( y'' = 12x^2 \)
  • 三阶：\( y''' = 24x \)
  • 四阶：\( y'''' = 24 \)
  • 五阶及以上：0（因为常数导数是 0）
  •  

最后大招：“三步走” 拆解任何复杂函数

遇到超复杂的函数（比如 \( y = \frac{\ln(x^2 + 1)}{\sqrt{2x^3 - e^x}} \)），别慌！按这三步来：
  1. 拆结构：先看是加减乘除哪种组合，比如这里是 “除法”，先分分子和分母
  1. 分内外：分子是 \( \ln(u) \)（u = x²+1），分母是 \( v^{1/2} \)（v=2x³ - e^x），用链式法则
  1. 套公式：分子导数用对数公式 + 链式，分母导数用幂函数 + 链式，最后用商法则
记住：再复杂的函数都是 “基础函数的套娃”，拆到最简再逐层求导，就像打 BOSS 先清小怪～
 

结语：导数计算就像玩拼图

刚开始觉得难，是因为没找到 “拼图规则”。
  • 基础公式是 “小零件”，四则运算是 “拼接方法”，链式法则是 “处理复杂零件的工具”。
  • 多练几道题，你会发现导数计算越来越顺手，甚至有点解压（比如看着复杂的式子一步步变成简洁的导数，超有成就感！）。
最后送你一句口诀：
“先拆结构再分层，链式法则记在心，四则运算别搞混，导数计算变轻松！”
下次遇到导数题，试着像玩游戏一样闯关吧～ 😉